极限是一个非常重要概念，但也很难理解。

极限概念的出现，主要是因为微积分发展到 18 世纪末的时候还没有一个严格的基础，虽然微积分作为一种工具，很强大，解决了很多问题，但基础却一直不稳固。到了18世纪末，柯西和威尔斯特拉斯把基础的问题解决了，解决的手段就是引入极限。

那什么是极限：

对于一个函数 y = f(x)，当 x 趋进于数 a 时，则 y 的极限是 b，指的是：对于数 b 任意一个领域 V （无论这个领域多小），一定能找到一个领域 U，使得当 x 的值在除 a 点以外的任意一个领域 U 内时，y 的值总在 V 范围内。

用数学语言来说：

用符号来表示即 ，a 与 b 是两个没有关系的实数，f 是一个定于于包含 a 的开区间（不包含 a 点）上的实值函数，则

表示对于任意的 ε > 0，都存在一个 δ > 0，使得当满足 0 < | x - a | < δ 时总有 | f(x) - b | < ε。

极限概念想说什么：

就是说，无论函数 f(x) 在 x = a 这个点上有没有定义，如果有定义的话，这个定义值是什么，对于 y = f(x) 这么一个函数，x 在不断靠近 a 的时候，那么 y 的值会不断靠近 b，如果 x 变成 a 了，那么 y的值会由于“惯性”变成 b 。（我们在 x = a 这个点上，填上 y = b 这个值，这句话后面再解释）

注意，我的理解与“数学书上的解释”是不一致的，当然就不是“学科意义上正确”的了。数学书上告诉我们的是 x “不会成为 a”，它只会不断地逼近 a，它会离 a 点“任意地近”，距离可以小于“任意给出的一个正数”，能小于任意一个正数的数是什么？不就是零么？但数学家们很别扭地就不承认它，而要绕开它，叫它“无穷小”，或是“过程无穷小量”。为什么呢？为了避开“函数在点 a 处可能没有定义”这么一个尴尬的问题。这个问题影响很严重，因为导数的定义中，就是希望分母变成 0，但变成 0 了代数运算又没意义，也就是它是个希望它等于 0 但又不能让它等于 0 的“东西”。一方面我们要有“分母为 0 时的”值，一方面又要避开除以 0 没有意义。怎么办？用极限来解决，说：△x 是一个无限接近于 0 但又不等于 0 的量，因为不等于 0，所以可以进行除法，又因为无限接近于 0，所以最终得到的值是一个准确值而不是一个近似值。（如果是近似值，那极限就没有能解决导数和积分定义的基础问题，因为导数和积分最近都是可以得到准确值而不是近似值的运算）

可能是对连续统（实数理论）的理解还不够深，“这个无限逼近”对我来说造成了理解上的困难。因为我总会觉得“x没有到达点 a”，那么 “y 就没有到达点 b”，一个“无限逼近 b 的值”怎么会等于 b 呢？于是我被堵在这了。

好吧，只能自己来安慰自己，给自己一个暂时上逻辑上能说得通的说法以继续前行（等以后学了更多东西，有了新的理解之后再修正）。

在数学分析八讲第二章讲极限的时候看到一句话，说极限是一种“分析运算”，另外，在很多人谈对极限理解，以及不少教材上，也都说极限是一个“过程运算”。这一点很重要，极限是一种“新类型”的运算，与中学时代学过的传统的代数运算不一样，代数运算是静态的运算，而极限是一种动态的，反应变化的运算。举个不一定恰当的例子，代数运算是知道我在北京，有张到上海的预定表，所以我很清楚地知道了我下一站就一定是上海，但我不知道也不管我是怎么去的。但极限则是这样一种运算，那就是我坐在火车上，我的导航仪地不断告诉我现在的位置，我发现自己在去京沪线上上，而且随着时间的流逝越来越接近上海，于是我可以肯定，按这个“规律”等到车停下来的时候，我一定是在上海的，但最终我未必会真的到上海，也许就在火车停下的那一刻，车爆炸了，我变得“不存在了”。所以极限运算这种分析运算，是用来刻画按函数变化规律时的函数的取值规律的。所以它最终 x ＝a 这个点函数的表现并不关心，只关心到这个点之前函数的变化规律，并以此推测函数在 x = 0 时的值。

这样的话，我解决了自己的两个问题：

一、当 △x → 0 时，△x 作分母会不会有问题？不会，因为 △x 是一个极限运算中“对变化的表示”，他不是“静态的数”，所以不必要遵守“代数运算定律”，它可以作分母参与运算（也就是 △x 可以在分子分母同时抵消）。

从另一个角度说，代数除零“没有意义”是人为规定的，但其实也可以说“有无数种意义”，但因为运算的数据是静态的，无法确定这时候的运算是什么意义。但极限运算比代数有更多的信息，那就是，值是有函数关系的，这种函数关系会限定“除零”成某一种意义（也就是取得一个值），如果这个函数关系也定不出这个值，那么直观地说就是“没有极限”。

二、“无限逼近”是不是“等于”的问题，在我看来就不存在了，因为我把极限看成“按这个规律下去，会取到什么值”，这个值不是x无限逼近a时 y 的值，而是 x 在除 a 点以外 y 取值过程可以推测出 x ＝ a 时 y = b。再强调一次，虽然大部我们会接触到的函数，x＝a 的极限就是 y = f(a)，但是，极限运算中是不管真实的 x ＝ a 时， y 有没有定义，以及 y 的值是多少的。

所以，目前数学中定义的极限运算就是这样一种运算。我必须明白这只是观察函数的一种视角，这种视角是动态的，与变化规律相联系的。但是，人类的知识是积累起来的，特别是数学家，总是把待求解的问题尽可能地转化成已求解的问题进行计算。我们要最终计算出极限值的时候，还是要依靠代数运算这种人类已经掌握得“很好”地运算。

让我再回到极限地定义，至少上面的理解，并不与这个定义有矛盾之处。也体会到了这个定义的牛X之处。因为非常简洁又很严格而没有歧义。这个定义解决了微积分的基础问题。而且这个定义给出了“求极限的一般代数方法”。在这个定义下，我们也可以得到极限的各种计算法则和重要性质。这样，我们可以通过一般方法求到常用的函数的极限，再用这些计算法则加常见极限计算出更复杂的函数的极限。而且也从数学上给出了极限唯一性的性质，这种性质是函数的一个非常重要的性质，它直接决定了微分和积分的存在。

想想第一篇和第三篇都很直接地一直在讲函数，是的，在理解三角函数和极限的过程中，我更新了自己对函数的理解，后面找时间整理下。